물리 법칙과 PDE

2010년 5월 6일 16시 서울대학교 상산수리과학관 101호에서 학부생을 위한 입실론 강연이 "The physics law and PDE"를 주제로 열렸습니다. PDE란 Partial Differential Equation의 약자로 편미분방정식이라고도 하는데요.
F=ma와 중력 F까지는 익숙했는데, Lennard-Jones Potential, '힘은 곡률과 관계가 있다', 등 익숙하지 않은 내용도 꽤 있어서 흥미롭게 들었습니다. 측지선의 개념이 생소해서 조금 헤맸네요.

브라운 운동과 Heat equation도 소개되었고요, 양자역학, 흑체복사, 광전효과 같은 내용은 익숙했던 터라 거부감 없이 들을 수 있었습니다. 슈뢰딩거 방정식을 Fourier transform을 이용하여 푼다고 하셨는데 제가 배우기로는 Algebraic method로 creation operator와 annihilation operator(ladder operator)를 이용해서 푸는 방법, Analytic method로 Frobenius power series method로(Fuchs theorem을 따르는 이차 미분 방정식으로 변수를 치환하여 변형한 후)Hermite polynomial을 유도하는 법과는 다른 유도과정이 있던 것 같네요.

Einstein field equation도 처음 보는 텐서 방정식이었는데 질량이 가지면 공간의 바뀌어짐(뒤틀림)에 의해 축지선의 경로(중력 경로)가 바뀐다는 이야기는 블랙홀에서 빛이 휘어지는 현상을 떠올리게 하더라고요. 우주 상수를 아인슈타인이 넣었다가 철회했는데 양자 역학의 암흑 에너지(암흑 물질) 때문에 다시 등장하는 역사적 과정이 신기했습니다. Parabolic PDE, Elliptic PDE에 대한 이야기도 나왔지만 이해를 전부 하지 못해서 자세히 메모하진 못햇네요. 조화해석학을 하다가 PDE를 연구하시는 분들이 종종 있다고 합니다. 필드상을 수상한 Terry tao가 비선형 dispersive equation을 연구한다고 해서 한 번 검색해봤는데 IMO에 최연소 교수에 탁월한 재능과 열정이 정말 남다른 사람 같네요.

마지막에 시간이 좀 남아서 교수님이 연구하시는 주제에 대해 간략하게 소개를 들을 수 있었는데. 편미분 방정식에서 함수의 성질을 Lp 공간으로 확장하여 일반화하신다는 이야기로 메모를 했는데, 맞는지 잘 모르겠네요. 다중극자 전개 문제나 구면조화함수에서 보던 편미분방정식은 변수분리법으로 풀리는 걸 봤는데, 새로운 종류의 편미방에 대한 걸 맛보기로나마 들을 수 있었던 세미나였습니다.

블로그에 수식 입력하기

블로그에 수식 입력하려고 이것 저것 찾아봐서 스크립트를 스킨에 편집했습니다.

아래의 테스트 수식은 어떤 관찰량 Q(x,p,t)의 시간에 대한 도함수를 슈뢰딩거 방정식의 해밀토니안을 대입해서 얻는 수식으로 에너지-시간 불확정성 원리와 관련이 있습니다. 막상 한번 설치해서 써 보니까 신기하네요. \frac{d}{dt} = \frac{i}{\hbar} \langle [ \hat{H}, \hat{Q} ] \rangle + \left\langle \frac{\partial Q}{\partial t} \right \rangle

참고한 글

1. http://www.crazybar.net/881
2. http://offree.net/entry/Using-TeX-with-HTML

천안함 무기파편 조사

우선,

천안함 관련 희생자들의 명복을 빕니다.

그리고 천안함 관련 부상자들의 빠른 쾌유를 빕니다.

천안함의 무기 파편을 찾고자 여러 배들이 동원되어 바닷속을 샅샅이 조사하고 있다고 하네요.

이 뉴스를 들으니까 문득 다음의 간단한 수학적 사실이 떠올랐어요.

만일 어떤 함수 f(x)를 적분한다고 할 때, f(x)=0이라면 이 함수를 정적분한 값도 0이다.
다만 boundary condition을 인위적으로 다르게 준다면, 이 값은 0이 아닐 수도 있다.
이건 그냥 수학에 관한 이야기에요. 카테고리도 수학.
수학 이야기일 뿐 절대 다른 의미로 해석되어서는 안 돼요.

First-order ordinary differential equation

1차 일반 미분 방정식의 경우 우선 변수 분리가 가능한지 살펴보아야 한다. 변수 분리가 가능하다면 라이프니츠 방식(dy/dx 꼴)으로 미분항을 표현한 다음에 같은 변수끼리 묶어줘야 한다. 뉴턴 방식(y'(x))과 다르게 라이프니츠 방식의 도함수 표현은 분수처럼 각 성분을 쉽게 다룰 수 있어서 편리하다.

분리가 불가능하면, 적분 요소를 찾아서 라이프니츠 미분 공식(곱 미분 공식 (fg)'=f'g+fg')에서 거꾸로 가는 형태를 유도해야 한다. Homogeneous한 방정식이면 적분 요소는 y'+p(t)y=0에서 exp(integral[p(t)])를 양변에 곱해주어서 지수함수 형태의 해를 유도해야 한다. Inhomogeneous한 방정식 y'+p(t)y=q(t)은 우선 Homogeneous하다고 가정한 다음 일반 해를 먼저 풀고 일반 해를 미분하여 원래의 미분 방정식과 비교한다. 그러면 적분 상수로 생성되는 t에 대한 함수가 q(t)에 어떻게 대응되는지 비교할 수 있고, 여기서 C의 함수를 또 미분방정식을 풀어서 구할 수 있다.